Mikor egyediek a sajátvektorok?
Pontszám: 4,8/5 ( 41 szavazat )A sajátvektorok NEM egyediek , többféle ok miatt. Változtassa meg az előjelet, és egy sajátvektor továbbra is ugyanazon sajátérték sajátvektora marad. Valójában megszorozzuk bármelyik konstanssal, és egy sajátvektor még mindig az. A különböző eszközök néha eltérő normalizálást választhatnak.
Honnan tudhatod, hogy a sajátértékek különböznek egymástól?
A "különböző" számok csak különböző számokat jelentenek. Ha a és b a T operátor saját értékei, és akkor "különböző" sajátértékek. Ha történetesen 0 és 1, akkor, mivel különböznek, „különböznek”.
Lehetnek különböző sajátvektorai?
Ha egy mátrixnak egynél több sajátvektora van, akkor a kapcsolódó sajátértékek eltérőek lehetnek a különböző sajátvektoroknál . ... Geometriailag egy mátrix hatása az egyik sajátvektorára a vektor megnyúlását (vagy zsugorodását) és/vagy irányának megfordítását idézi elő.
Lehetnek-e azonos sajátértékeknek különböző sajátvektorai?
Csak egy sajátértéke van , mégpedig 1. Azonban e1=(1,0) és e2=(0,1) is ennek a mátrixnak a sajátvektorai. Ha b=0, akkor 2 különböző sajátvektor van ugyanahhoz a sajátértékhez. Ha b≠0, akkor csak egy sajátvektor van az a sajátértékhez.
A sajátvektor-bontás egyedi?
◮ A dekompozíció nem egyedi, ha két sajátérték azonos. ◮ Megállapodás szerint rendezze a Λ bejegyzéseit csökkenő sorrendbe. Ekkor a sajátdekompozíció akkor egyedi, ha minden sajátérték egyedi.
Keresse meg a 3x3 mátrix sajátértékeit
Egyediek a sajátvektorok?
A sajátvektorok NEM egyediek , többféle ok miatt. Változtassa meg az előjelet, és egy sajátvektor továbbra is ugyanazon sajátérték sajátvektora marad. Valójában megszorozzuk bármelyik konstanssal, és egy sajátvektor még mindig az. A különböző eszközök néha eltérő normalizálást választhatnak.
Az SVD egyedi?
Általánosságban elmondható, hogy az SVD egyedi az U és V oszlopvektoraira egységesen alkalmazott tetszőleges egységtranszformációkig, amelyek átfogják az egyes szinguláris értékek altereit, és egészen a kernelt és a kokernelt átívelő U és V vektorok tetszőleges unitárius transzformációjáig. , M.
Lehet-e egy sajátértéknek két lineárisan független sajátvektora?
Másrészt a 2×2-es azonosságmátrixnak ismét csak egy sajátértéke van (kettes multiplicitás), de a hozzá tartozó sajáttér 2-es dimenzióval rendelkezik (megjegyzendő, hogy minden nullától eltérő vektor sajátvektor). Tehát van két lineárisan független sajátvektorunk .
Lehet több sajátértéke?
Nagyon könnyen megtörténhet, hogy egy mátrixnak van néhány „ismétlődő” sajátértéke. Vagyis a det (A−λI)= 0 karakterisztikus egyenletnek ismétlődő gyökei lehetnek. Ahogy korábban is mondtuk, ez nem valószínű, hogy megtörténik egy véletlen mátrix esetében.
Lehet egy 3x3-as mátrixnak 2 sajátértéke?
Ez az eredmény bármilyen méretű átlós mátrixra érvényes. Tehát az átlón lévő értékektől függően lehet egy sajátértéke, két sajátértéke vagy több. Bármi lehetséges .
Amikor minden sajátérték különbözik?
A különböző sajátértékei 0,1,2. Ha a sajátértékek nem különböznek egymástól, az azt jelenti, hogy egy sajátérték többször is megjelenik a karakterisztikus polinom gyökeként . Geometriai értelemben ez azt jelenti, hogy több lineárisan független vektor létezik, amelyeket a mátrix ugyanazzal az állandóval skáláz.
A sajátértékeknek külön kell lenniük?
Egy mátrixnak nem feltétlenül vannak külön sajátértékei (bár szinte mindegyiknek van), és egy mátrixnak nem feltétlenül van egyetlen sajátértéke n többszörösével. Valójában tetszőleges n értékből álló halmaz esetén létrehozhat egy mátrixot ezekből az értékekből sajátértékként (valójában csak vegye a megfelelő átlós mátrixot).
Mit írnak le a különböző sajátértékek?
Az A mátrix minden különálló sajátértékéhez legalább egy sajátvektor fog felelni , amelyet a megfelelő homogén egyenletkészlet megoldásával találhatunk meg. Ha egy λ i sajátértéket (2) behelyettesítünk, akkor a megfelelő x i sajátvektor a megoldása. (6) Példa 1. Keresse meg a sajátvektorait.
Hány lineárisan független sajátvektor?
Lehetséges végtelen sok sajátvektor , de ezek mindegyike lineárisan függ egymástól. Ezért csak egy lineárisan független sajátvektor lehetséges. Megjegyzés: n különböző sajátértéknek megfelelően n független sajátvektort kapunk.
Hogyan találja meg a lineárisan független sajátvektorok számát?
2 válasz. Végtelen sok sajátvektor lehetséges, de ezek mindegyike lineárisan függ egymástól, mert mindig kapunk valamilyen állandót, amely kielégíti a C1∗X1+C2∗X2=0 Tehát csak egy lineárisan független sajátvektor lehetséges.
Hány sajátvektora lehet egy mátrixnak?
EDIT: Természetesen minden legalább egy λ sajátértékkel rendelkező mátrixnak végtelen sok sajátvektora van (ahogyan a megjegyzésekben is jeleztük), mivel a λ-nak megfelelő sajáttér legalább egydimenziós.
Mit jelent, ha egy sajátérték ismétlődik?
Azt mondjuk, hogy A egy A1 sajátértéke megismétlődik, ha az A karakterisztikus egyenletének többszörös gyöke ; esetünkben, mivel ez egy másodfokú egyenlet, az egyetlen lehetséges eset, amikor A1 dupla valós gyök. Két lineárisan független megoldást kell találnunk a rendszerre (1). A szokásos módon egy megoldást kaphatunk.
Lehet-e egy mátrixnak duplikált sajátértéke?
és ha egy mátrix összes sajátértéke különbözik, akkor a mátrix automatikusan diagonalizálható, de rengeteg olyan eset van, amikor egy mátrix diagonalizálható, de ismétlődő sajátértékei vannak. Az ismétlődő sajátértékekkel rendelkező mátrix diagonalizálható . Gondoljunk csak az identitásmátrixra.
Átlózhat egy mátrixot ismétlődő sajátértékekkel?
Az ismétlődő sajátértékekkel rendelkező mátrix diagonalizálható . Gondoljunk csak az identitásmátrixra. Minden sajátértéke egyenlő eggyel, mégis létezik egy bázis (bármilyen bázis), amelyben átlós mátrixként fejeződik ki.
Az SVD mindig létezik?
Az SVD mindig létezik bármilyen téglalap vagy négyzet alakú mátrix esetén, míg a sajátdekompozíció csak négyzetes mátrixok esetén létezik, és néha még a négyzetmátrixok között sem.
A PCA ugyanaz, mint az SVD?
Mi a különbség az SVD és a PCA között? Az SVD lehetővé teszi, hogy egy mátrixot speciális mátrixokká alakítson át, amelyek könnyen kezelhetők és elemezhetők. Lefektette az alapot az adatok független komponensekre bomlására. A PCA kihagyja a kevésbé jelentős komponenseket.
Az egyedi értékek mindig valódiak?
A szinguláris értékek az S mátrix átlós bejegyzései, és csökkenő sorrendben vannak elrendezve. A szinguláris értékek mindig valós számok . Ha az A mátrix valós mátrix, akkor U és V is valós.
Mit mondanak nekünk a sajátvektorok?
Rövid válasz. A sajátvektorok megkönnyítik a lineáris transzformációk megértését . Ezek azok a „tengelyek” (irányok), amelyek mentén a lineáris transzformáció egyszerűen „nyújtással/tömörítéssel” és/vagy „fordítással” működik; A sajátértékek megadják azokat a tényezőket, amelyek hatására ez a tömörítés létrejön.
A sajátvektorok képeznek alapot?
A sajátvektorok alapulnak, amikor a lineáris transzformációt Λ-ként ábrázoljuk . ... Mivel P oszlopainak lineárisan függetleneknek kell lenniük ahhoz, hogy P invertálható legyen, létezik A-nak n lineárisan független sajátvektora. Ebből következik, hogy A sajátvektorai akkor és csak akkor képeznek bázist, ha A diagonalizálható.