A sajátvektorok mindig lineárisan függetlenek?
Pontszám: 4,9/5 ( 71 szavazat )Az eltérő sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok lineárisan függetlenek . Következésképpen, ha egy mátrix összes sajátértéke különbözik, akkor a hozzájuk tartozó sajátvektorok átfogják azon oszlopvektorok terét, amelyekhez a mátrix oszlopai tartoznak.
Honnan lehet tudni, hogy a sajátvektorok lineárisan függetlenek?
Az eltérő sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok lineárisan függetlenek. ... Ha vannak ismétlődő sajátértékek, de nem hibásak (azaz algebrai multiplicitásuk megegyezik a geometriai multiplicitásukkal), akkor ugyanaz a feszítő eredmény érvényesül.
Lehetnek-e sajátvektorok lineárisan függőek?
Ha A egy N × N komplex mátrix N különálló sajátértékkel, akkor N megfelelő sajátvektor bármely halmaza képezi a CN alapját. Bizonyíték. Elegendő bebizonyítani, hogy a sajátvektorok halmaza lineárisan független . ... Mivel minden Vj = 0, a {Vj} bármely függő részhalmazának legalább két sajátvektort kell tartalmaznia.
Minden azonos sajátértékű sajátvektor lineárisan független?
Az eltérő sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok mindig lineárisan függetlenek . Ebből következik, hogy egy n × n mátrixot mindig diagonalizálhatunk n különböző sajátértékkel, mivel n lineárisan független sajátvektorral fog rendelkezni.
Amikor a sajátértékek lineárisan függetlenek?
Ha A sajátértékei különböznek , akkor kiderül, hogy a sajátvektorok lineárisan függetlenek; de ha bármelyik sajátérték megismétlődik, további vizsgálatra lehet szükség. ahol β és γ nem egyenlő egyszerre nullával.
Sajátvektorok és lineáris függetlenség
Lehet-e egy sajátértéknek két lineárisan független sajátvektora?
A definícióban azonban semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy több sajátvektorunk legyen azonos sajátértékkel. Például az [1001] mátrixnak két különálló sajátvektora van, az [1,0] és a [0,1], mindegyik sajátértéke 1. (Valójában minden lehetséges vektor sajátvektor, 1-es sajátértékkel.)
Hány lineárisan független sajátvektor?
Lehetséges végtelen sok sajátvektor , de ezek mindegyike lineárisan függ egymástól. Ezért csak egy lineárisan független sajátvektor lehetséges. Megjegyzés: n különböző sajátértéknek megfelelően n független sajátvektort kapunk.
Lehet-e 2 sajátvektornak azonos sajátértéke?
Két különálló sajátvektor, amelyek ugyanazon sajátértéknek felelnek meg, mindig lineárisan függenek . Két különálló sajátvektor, amelyek ugyanazon sajátértéknek felelnek meg, mindig lineárisan függenek.
Lehet egy mátrixnak 2 azonos sajátértéke?
Két hasonló mátrixnak ugyanazok a sajátértékei , bár általában eltérő sajátvektorokkal rendelkeznek. Pontosabban mondva, ha B = Ai'AJ. I és x A sajátvektora, majd M'x B = M'AM sajátvektora. ... Továbbá, ha két mátrixnak ugyanazok a sajátértékei vannak, akkor hasonlóak.
Lehet a nulla sajátérték?
A sajátértékek egyenlőek lehetnek nullával . A nulla vektort nem tekintjük sajátvektornak: mivel A 0 = 0 = λ 0 minden λ skalár esetén, a hozzá tartozó sajátérték definiálatlan lenne.
Honnan tudhatod, hogy valami lineárisan független?
Magyarázat: Mivel a mátrix , egyszerűen vehetjük a determinánst. Ha a determináns nem egyenlő nullával, akkor lineárisan független . ... Mivel a determináns nulla, a mátrix lineárisan függő.
Minden sajátvektor különálló?
Ez annak a matematikai ténynek az eredménye, hogy a sajátvektorok nem egyediek : egy sajátvektor bármely többszöröse egyben sajátvektor is! A különböző numerikus algoritmusok különböző sajátvektorokat tudnak előállítani, és ezt tetézi, hogy a sajátvektorokat többféleképpen szabványosíthatjuk és rendezhetjük.
Függnek a sajátvektorok a bázistól?
A sajátértékek és a sajátvektorok csak a -tól függenek, plusz alapon nem . Mivel a skalárok és így nem a térben vannak, nem kell őket bázisban ábrázolni, ezért nincs bázisreprezentáció, amely bázisonként változhat.
A sajátvektorok ortogonálisak?
Általánosságban elmondható, hogy bármely mátrix esetében a sajátvektorok NEM mindig ortogonálisak . Egy speciális mátrixtípusnál, a szimmetrikus mátrixnál azonban a sajátértékek mindig valósak, a megfelelő sajátvektorok pedig mindig ortogonálisak.
Mik azok a lineárisan függő vektorok?
A vektorterek elméletében a vektorok halmazát lineárisan függőnek mondjuk, ha létezik a vektorok nemtriviális lineáris kombinációja, amely egyenlő a nulla vektorral . Ha nem létezik ilyen lineáris kombináció, akkor a vektorokat lineárisan függetlennek mondjuk.
A diagonalizálható mátrixok invertálhatók?
Nem. Például a nulla mátrix diagonalizálható, de nem invertálható . Egy négyzetes mátrix csak akkor invertálható, ha a magja 0, és a kernel eleme megegyezik egy 0 sajátértékű sajátvektorral, mivel önmaga 0-jára van leképezve, ami 0.
Diagonalizálható-e egy ismétlődő sajátértékű mátrix?
Az ismétlődő sajátértékekkel rendelkező mátrix diagonalizálható . Gondoljunk csak az identitásmátrixra. Minden sajátértéke egyenlő eggyel, mégis létezik egy bázis (bármilyen bázis), amelyben átlós mátrixként fejeződik ki.
Lehet-e ismétlődő sajátértéke egy szimmetrikus mátrixnak?
(i) A szimmetrikus mátrix összes sajátértéke valós, és így a sajátvektorok is. ... Ha egy szimmetrikus mátrixnak bármilyen ismétlődő sajátértéke van, továbbra is meghatározható a kölcsönösen ortogonális sajátvektorok teljes halmaza, de nem minden sajátvektor halmaz rendelkezik az ortogonalitás tulajdonsággal.
Tartozhat-e egy vektor két sajáttérhez?
Igen , természetesen több vektor is lehet egy sajáttér alapján. Például legyen A=J−I egy n×n mátrix mind 1-ből, kivéve 0-t az átlóban (ez a példa a gráfelméletből és a Kn teljes gráfból származik).
Mit jelentenek az ismétlődő sajátértékek?
Azt mondjuk, hogy A egy A1 sajátértéke megismétlődik , ha az A karakterisztikus egyenletének többszörös gyöke ; esetünkben, mivel ez egy másodfokú egyenlet, az egyetlen lehetséges eset, amikor A1 dupla valós gyök. Két lineárisan független megoldást kell találnunk a rendszerre (1). A szokásos módon egy megoldást kaphatunk.
Lehetnek-e különbözőek a sajátvektorok?
Fontolja meg egy négyzet alakú 3x3-as mátrix megszorzását egy 3x1-es (oszlop) vektorral. ... Ha egy mátrixnak egynél több sajátvektora van, a hozzá tartozó sajátértékek eltérőek lehetnek a különböző sajátvektoroknál . Geometriailag egy mátrix hatása az egyik sajátvektorára a vektor megnyúlását (vagy zsugorodását) és/vagy irányának megfordítását idézi elő.
Hány sajátvektora lehet egy mátrixnak?
EDIT: Természetesen minden legalább egy λ sajátértékkel rendelkező mátrixnak végtelen sok sajátvektora van (ahogyan a megjegyzésekben is jeleztük), mivel a λ-nak megfelelő sajáttér legalább egydimenziós.
Mit jelent a különálló sajátérték?
A „különböző” számok csak különböző számokat jelentenek. Ha a és b a T operátor saját értékei, és akkor "különböző" sajátértékek. Ha történetesen 0 és 1, akkor, mivel különböznek, „különböznek”.
Minden mátrixnak van sajátértéke?
Minden valós mátrixnak van sajátértéke , de lehet összetett is. Valójában egy K mező algebrailag zárt, ha minden K-beli bejegyzést tartalmazó mátrixnak van sajátértéke. ... A komplex mátrixok sajátértékeinek létezése egyenértékű az algebra alaptételével.