Mikor valódiak a sajátértékek?
Pontszám: 4,6/5 ( 28 szavazat )M hermitikus, ha minden sajátértéke valós. Ha további M valós és szimmetrikus, akkor minden sajátvektorának is van valós bejegyzése. Mivel ezek a kifejezések egyenlőek, ez azt jelenti, hogy λ∗ = λ , ami azt jelenti, hogy λ valós.
Honnan tudod, hogy a sajátértékek valódiak-e?
A bizonyítás első lépése annak bemutatása, hogy A karakterisztikus polinomjának minden gyöke (azaz A sajátértékei) valós számok. Emlékezzünk vissza, hogy ha z=a+bi egy komplex szám, akkor annak komplex konjugátumát ˉz=a-bi határozza meg.
Valósak-e a valós mátrix sajátértékei?
Ha egy n×n A mátrix minden bejegyzése valós szám, akkor A sajátértékei mind valós számok . ... Általában egy valós mátrixnak lehet komplex szám sajátértéke. Valójában a (b) rész példát ad egy ilyen mátrixra.
A valós sajátértékeknek van valós sajátvektoruk?
Valós sajátértékekkel rendelkező valós mátrixnak vannak valós sajátvektorai.
Melyik mátrixnak vannak valós sajátértékei?
Könnyen bebizonyítható, hogy ha A egy valós irreducibilis négyzetmátrix, és ha létezik olyan valós nem szinguláris átlós D mátrix, amelyre AD szimmetrikus és pozitív félig határozott, akkor bármely Y valós átlós mátrix esetén AY-nek csak valós sajátértékei vannak.
Életbeli példa saját értékekre és saját vektorokra
Hogyan bizonyítja be, hogy a mátrix valódi?
Valós szimmetrikus mátrix esetén bármely sajátvektorpár, amelynek külön sajátértéke van, ortogonális lesz . Valós szimmetrikus mátrix esetén bármely sajátvektorpár, amelynek külön sajátértéke van, ortogonális lesz. Tekintsünk egy tetszőleges valós x szimmetrikus mátrixot, amelynek minimális polinomja különálló lineáris tényezőkre hasad, mint .
Lehet-e a sajátérték képzeletbeli?
A karakterisztikus egyenlet p(λ) = λ2 −2λ+ 5 = 0 , λ = 1±2i gyökekkel. Az, hogy a két sajátérték komplex konjugált egymással, nem véletlen. Ha az n × n A mátrixnak valós bejegyzései vannak, akkor a komplex sajátértékei mindig összetett konjugált párokban fordulnak elő.
Lehet-e egy valós mátrixnak valós és komplex sajátértéke is?
Mivel egy valós mátrixnak lehetnek összetett sajátértékei (amelyek összetett konjugált párokban fordulnak elő), a fenti tételben szereplő A és T még egy valós mátrix esetén is komplex lehet. Választhatjuk azonban U-t valódi ortogonálisnak, ha T-t egy kvázi-háromszög alakú R mátrixra cseréljük, amelyet A RSF-jeként ismerünk, amint azt a következő tétel mutatja.
Minden szimmetrikus mátrixnak van sajátértéke?
Az A szimmetrikus mátrixoknak pontosan n (nem feltétlenül különálló) sajátértéke van.
A nulla valódi sajátérték?
A sajátértékek egyenlőek lehetnek nullával . A nulla vektort nem tekintjük sajátvektornak: mivel A 0 = 0 = λ 0 minden λ skalár esetén, a hozzá tartozó sajátérték definiálatlan lenne.
A valós mátrixoknak lehetnek komplex sajátvektorai?
Ha α egy komplex szám, akkor egyértelműen van egy komplex sajátvektorunk . De ha A valós, szimmetrikus mátrix (A=At), akkor a sajátértékei valósak, és mindig kiválaszthatja a megfelelő sajátvektorokat valós bejegyzésekkel. Valóban, ha v=a+bi egy λ sajátértékű sajátvektor, akkor Av=λv és v≠0.
Miért valósak a szimmetrikus mátrix sajátértékei?
▶ Egy valós szimmetrikus mátrix minden sajátértéke valós. merőleges . A ∈ Cn×n típusú komplex mátrixok, ahol C a z = x + iy komplex számok halmaza, ahol x és y z valós és képzetes része, és i = √ −1. és ehhez hasonlóan Cn×n az n × n mátrix halmaza, amelynek bejegyzései komplex számok.
Lehetnek-e a sajátértékek egymásra merőlegesek?
Általánosságban elmondható, hogy bármely mátrix esetében a sajátvektorok NEM mindig ortogonálisak . Egy speciális mátrixtípusnál, a szimmetrikus mátrixnál azonban a sajátértékek mindig valósak, a megfelelő sajátvektorok pedig mindig ortogonálisak.
A lambda 1 a sajátértéke?
Mutassuk meg, hogy λ−1 az A−1 sajátértéke. [Tipp: tegyük fel, hogy egy nem nulla x teljesíti A x = λ x.] ... Ahogy a tippben, ha A x = λ x, akkor mindkét bal oldalt megszorozzuk A−1 -gyel, valamint a λ−1 skalárral ad λ−1x = A−1x . Ezért λ−1 az A−1 sajátértéke, mivel x = 0.
Minden szimmetrikus mátrix diagonalizálható?
A valós szimmetrikus mátrixoknak nemcsak valós sajátértékük van, hanem mindig átlósíthatók . Valójában többet is el lehet mondani az átlósításról.
Mit jelentenek az ismétlődő sajátértékek?
Azt mondjuk, hogy A egy A1 sajátértéke megismétlődik , ha az A karakterisztikus egyenletének többszörös gyöke ; esetünkben, mivel ez egy másodfokú egyenlet, az egyetlen lehetséges eset, amikor A1 dupla valós gyök. Két lineárisan független megoldást kell találnunk a rendszerre (1). A szokásos módon egy megoldást kaphatunk.
A sajátvektorok ortogonálisak?
Alapvető tény, hogy az A hermitiánus mátrix sajátértékei valósak, a különböző sajátértékek sajátvektorai pedig ortogonálisak . Két azonos dimenziójú komplex x és y oszlopvektor ortogonális, ha xHy = 0. ... Ha ortonomális sajátvektorokat oszlopokká teszünk, akkor U mátrixot kapunk, így UHU = I, amit unitárius mátrixnak nevezünk.
Mit jelent a komplex sajátérték?
Ha c bármely komplex szám, akkor cx a λ sajátértéknek megfelelő komplex sajátvektor. Ezen túlmenően, mivel A sajátértékei A karakterisztikus polinomjának gyökerei, a komplex sajátértékek konjugált párokban jönnek létre, és λ egy sajátérték.
A sajátértékek egész számok?
Mivel egy mátrix sajátértékei ennek a polinomnak a gyökerei, az egész mátrix sajátértékei algebrai egész számok .
Hogyan lehet egy képzeletbeli számot valóra váltani?
A komplex szám képzeletbeli részének előjelének megváltoztatásával lehet megtalálni. A szám valós része változatlan marad. Ha egy komplex számot megszorozunk a komplex konjugáltjával , az eredmény egy valós szám. Ha egy komplex számot hozzáadunk a komplex konjugátumához, az eredmény egy valós szám.
Miért negatív az 1. négyzet?
Itt a "képzetes" kifejezést használjuk, mert nincs negatív négyzetű valós szám . A −1-nek két összetett négyzetgyöke van, nevezetesen i és −i, ahogyan minden nullától eltérő valós számnak (amelynek egy dupla négyzetgyöke) van két összetett négyzetgyöke.
Mit jelent, ha minden sajátérték pozitív?
Egy mátrix pozitív határozott, ha szimmetrikus és minden sajátértéke pozitív. A helyzet az, hogy sok más ekvivalens módszer létezik a pozitív határozott mátrix meghatározására. Egy ekvivalens definíció származtatható abból a tényből, hogy szimmetrikus mátrix esetén a pivotok előjelei a sajátértékek előjelei.
Mit mondanak nekünk a sajátértékek?
A sajátérték egy szám, amely megmondja, hogy mekkora szórás van az adatokban abban az irányban , a fenti példában a sajátérték egy szám, amely megmondja, hogy az adatok milyen eloszlásban vannak a vonalon. ... Valójában a létező sajátvektorok/értékek száma megegyezik az adatkészlet dimenzióinak számával.
Lehet-e a sajátérték negatív?
Geometriailag egy valódi, nem nulla sajátértéknek megfelelő sajátvektor egy olyan irányba mutat, amelybe a transzformáció nyújtja, és a sajátérték az a tényező, amellyel megnyújtja. Ha a sajátérték negatív, az irány megfordul .