Kompakt a metrikus tér?

Pontszám: 5/5 ( 13 szavazat )

Metrikus terek
(X, d) szekvenciálisan tömör ; azaz minden X-beli sorozatnak van egy konvergens részsorozata, amelynek határértéke X-ben van (ez egyenértékű az első megszámlálható egyenletes terek tömörségével is).

A metrikus tér kompakt részhalmaza?

Tétel Minden K kompakt halmaz egy metrikus térben zárt és korlátos . Tétel: A kompakt halmaz minden zárt részhalmaza egyben kompakt is. Tétel (Heine-Borel tétel az utolsó tagból) Minden zárt és korlátos intervallum [a,b] a valós számok kompakt részhalmaza.

Hogyan bizonyítja, hogy a metrikus tér kompakt?

Uα = X. 2.1. Tétel. Egy X metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha X-ben a véges metszés tulajdonsággal rendelkező zárt halmazok F gyűjteményének van nem üres metszéspontja . X pontjainak konvergens részsorozata van.

Minden kompakt metrikus tér zárva van?

38. Tétel A metrikus tér minden kompakt részhalmaza zárt és korlátos . 2d(p, x). i=1Bδxi (p) egy nyitott halmaz, amely p-t és V ⊂ X \ K-t tartalmaz. 39. Tétel Legyen {Kj} egy X topológiai tér kompakt részhalmazainak gyűjteménye úgy, hogy bármely véges sok tag metszéspontja nem üres, akkor ∩jKj = ∅.

Kompakt a diszkrét metrikus tér?

Egy diszkrét tér akkor és csak akkor kompakt, ha véges . Minden diszkrét egységes vagy metrikus tér teljes. A fenti két tényt kombinálva minden diszkrét egységes vagy metrikus tér akkor és csak akkor teljesen korlátos, ha véges. Minden diszkrét metrikus tér korlátos.

Kompaktság metrikus térben

18 kapcsolódó kérdés található

Minden kompakt metrikus tér teljes?

Minden kompakt metrikus tér teljes , bár a teljes tereknek nem kell kompaktnak lenniük. Valójában egy metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha teljes és teljesen korlátos.

Kompakt a Cofinite topológia?

Alterek: A kofinit topológia minden altér-topológiája egyben kofinit topológia is. Kompaktság: Mivel minden nyitott halmaz véges sok X-pontot tartalmaz, az X tér kompakt és szekvenciálisan kompakt . ... Ha X véges, akkor a kofinit topológia egyszerűen a diszkrét topológia.

A racionalitások kompaktak?

A válasz: Nem . Az R valós számok K részhalmaza kompakt, ha zárt és korlátos. De a Q racionális számok halmaza nem zárt és nem korlátos, ezért nem kompakt. De a Q racionális számok halmaza nem zárt és nem korlátos, ezért nem kompakt.

Egy kompakt készlet zárva van?

A kompakt halmazokat nem kell zárni egy általános topológiai térben . Vegyük például az {a,b} halmazt, amelynek topológiája {∅,{a},{a,b}} (ezt Sierpinski kétpontos térnek nevezik). Az {a} halmaz kompakt, mivel véges.

Kompakt egy singleton?

A diszkrét térben található Singleton készlet kompakt .

Kompakt a készlet?

Az összes valós szám ℝ halmaza nem kompakt , mivel a nyitott intervallumoknak van olyan fedője, amelynek nincs véges alborítója. Például az (n−1, n+1) intervallumok, ahol n az összes Z-beli egész értéket felveszi, lefedik ℝ, de nincs véges részborító.

Hogyan jeleníti meg a metrikus teret?

1. Mutassuk meg, hogy a valós egyenes metrikus tér. Megoldás: Bármely x, y ∈ X = R esetén a d(x, y) = |x − y| Könnyen ellenőrizhető, hogy az abszolút érték függvény kielégíti-e egy metrika axiómáit.

Hogyan állapítható meg, hogy egy függvény kompakt?

Továbbá F akkor és csak akkor kompakt, ha zárt, pontonkénti korlátos és ekvikontinuális . Bizonyíték. Mivel C(X) teljes, egy részhalmaz akkor és csak akkor teljes, ha zárt. Ebből következik, hogy F akkor és csak akkor kompakt, ha zárt és teljesen korlátos.

Minden véges halmaz kompakt?

Minden véges halmaz kompakt . IGAZ: A véges halmaz korlátos és zárt is, így a kompakt is. Az {x ∈ R : x − x2 > 0} halmaz kompakt.

Kompakt az egységkör?

akkor f folytonos, és az egységkör f([0,2π]), így ez R2 kompakt halmaza a kompakt [0,2π] képe az f folytonos függvény által.

Egy metrikus tér?

A metrikus tér elválasztható tér, ha van egy megszámlálható sűrű részhalmaza . Tipikus példák a valós számok vagy bármely euklideszi tér. A metrikus terek (de nem az általános topológiai terek) esetében az elválaszthatóság egyenértékű a második megszámlálhatósággal és a Lindelöf tulajdonsággal is.

Lehet egy készlet kompakt, de nem zárt?

Így egy kompakt készlet lehet nyitott és nem zárt .

A korlátos halmaz kompakt?

A fenti bizonyíték szinte változtatás nélkül érvényes arra, hogy egy X Hausdorff-topológiai tér bármely S kompakt részhalmaza zárt X-ben. Ha egy halmaz kompakt, akkor korlátos . A kompakt halmaz zárt részhalmaza kompakt. Ha egy halmaz zárt és korlátos, akkor kompakt.

Egy kompakt készlet kinyitható?

Sok topológiában a nyílt halmazok kompaktak lehetnek . Valójában az üres készlet mindig kompakt. az üres halmaz és a valódi sor nyitva van.

Kompakt a Sinx?

(a) X = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0,y ≥ 0}, az y = sinx függvény grafikonja. Megoldás. Nem kompakt, mivel nincs korlátos (x an tetszőlegesen nagy). ... Ez kompakt.

A 0 1-ben szereplő racionalitások tömörek?

Állítás: [a,b]∩Q Q-ban nem kompakt . Így Q összes kompakt részhalmazának belseje ∅. ... Ez a halmaz zárt, mivel csak a 0 és 1 közötti racionális számokból áll, beleértve a 0-t és az 1-et is. Tehát ez egy kompakt tér zárt altere.

Nyitott a racionalitások halmaza?

A Q ⊂ R racionális számok halmaza nem nyitott és nem zárt . Nem nyitott, mert egy racionális szám minden környezete tartalmaz irracionális számokat, és a komplementere nem nyitott, mert egy irracionális szám minden környezete racionális számokat tartalmaz.

A kofinit topológia hausdorff?

A kofinit topológiájú végtelen halmaz nem Hausdorff . Valójában az X kofinit topológiájában bármely két nem üres nyitott részhalmaz, O1, O2 véges részhalmazok komplementere.

Mi a szokásos topológia?

A valós egyenes topológiáját az (a, b) alakú intervallumok gyűjteménye adja meg az ilyen intervallumok tetszőleges unióival. Legyen I = {(a, b) | a, b ∈ R}. Ekkor az X = R és T = {∪αIα | halmazok Iα ∈ I} egy topológiai tér. Ez az R a „szokásos topológia” alatt.

A kofinit topológia először megszámolható?

Az R kofinit topológiája finomabb, de először nem számolható meg . (xix) Egy második megszámlálható tér altere második megszámlálható. Igaz. Tipp: Ha Y ⊆ X és B megszámlálható alapja X-nek, tekintsük {B ∩ Y | B ∈ B}.